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std:: cyl_neumann, std:: cyl_neumannf, std:: cyl_neumannl

From cppreference.net
C++
Numerics library
Mathematical special functions
定义于头文件 <cmath>
(1)
float cyl_neumann ( float nu, float x ) ;

double cyl_neumann ( double nu, double x ) ;

long double cyl_neumann ( long double nu, long double x ) ;
(C++17 起)
(C++23 前)
/* floating-point-type */ cyl_neumann ( /* floating-point-type */ nu,
/* floating-point-type */ x ) ;
(C++23 起)
float cyl_neumannf ( float nu, float x ) ;
(2) (C++17 起)
long double cyl_neumannl ( long double nu, long double x ) ;
(3) (C++17 起)
定义于头文件 <cmath>
template < class Arithmetic1, class Arithmetic2 >

/* common-floating-point-type */

cyl_neumann ( Arithmetic1 nu, Arithmetic2 x ) ;
(A) (C++17 起)
1-3) 计算 nu 和 x 的 柱诺依曼函数 （也称为第二类贝塞尔函数或韦伯函数）。 标准库为所有 cv 未限定浮点类型提供了 std::cyl_neumann 的重载版本，作为参数 nu 和 x 的类型。 (C++23 起)
A) 为所有其他算术类型组合提供了额外的重载。

目录

参数

nu - 函数的阶数
x - 函数的参数

返回值

If no errors occur, value of the cylindrical Neumann function (Bessel function of the second kind) of nu and x , is returned, that is N ν (x) =
J ν (x)cos(νπ)-J -ν (x)
sin(νπ)
(where J nu (x) is std:: cyl_bessel_j ( nu, x ) ) for x≥0 and non-integer nu ; for integer nu a limit is used.

错误处理

错误报告方式遵循 math_errhandling 规范：

  • 如果参数为 NaN，则返回 NaN 且不报告定义域错误。
  • 如果 nu≥128 ，行为由实现定义。

注释

不支持C++17但支持 ISO 29124:2010 的实现，若实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少201003L的值，且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ ，则会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，会在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

该函数的实现也可在 boost.math 中找到。

额外的重载并不需要完全按照 (A) 的形式提供。只需确保对于它们的第一个参数 num1 和第二个参数 num2 满足以下条件：

  • 若 num1 或 num2 具有类型 long double ，则 std :: cyl_neumann ( num1, num2 ) 的效果等同于 std :: cyl_neumann ( static_cast < long double > ( num1 ) ,
    static_cast < long double > ( num2 ) )     。
  • 否则，若 num1 和/或 num2 具有类型 double 或整数类型，则 std :: cyl_neumann ( num1, num2 ) 的效果等同于 std :: cyl_neumann ( static_cast < double > ( num1 ) ,
    static_cast < double > ( num2 ) )     。
  • 否则，若 num1 或 num2 具有类型 float ，则 std :: cyl_neumann ( num1, num2 ) 的效果等同于 std :: cyl_neumann ( static_cast < float > ( num1 ) ,
    static_cast < float > ( num2 ) )     。
(C++23 前)

若 num1 和 num2 具有算术类型，则 std :: cyl_neumann ( num1, num2 ) 的效果等同于 std :: cyl_neumann ( static_cast < /* common-floating-point-type */ > ( num1 ) ,
static_cast < /* common-floating-point-type */ > ( num2 ) ) ，其中 /* common-floating-point-type */ 是 num1 和 num2 类型之间具有最高 浮点转换等级 和最高 浮点转换子等级 的浮点类型，整数类型的实参被认为具有与 double 相同的浮点转换等级。

若不存在具有最高等级和子等级的此类浮点类型，则 重载决议 不会从提供的重载中得到可用候选。

(C++23 起)

示例

运行此代码 
#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>
const double π = std::numbers::pi; // 或在 C++20 之前使用 std::acos(-1)
// 为了通过第一类柱贝塞尔函数计算柱诺依曼函数，我们需要实现 J，
// 因为直接调用 std::cyl_bessel_j(nu, x)，根据上述公式，
// 对于负的 nu 会引发 'std::domain_error': __cyl_bessel_j 中的参数错误。
double J_neg(double nu, double x)
{
    return std::cos(-nu * π) * std::cyl_bessel_j(-nu, x)
          -std::sin(-nu * π) * std::cyl_neumann(-nu, x);
}
double J_pos(double nu, double x)
{
    return std::cyl_bessel_j(nu, x);
}
double J(double nu, double x)
{
    return nu < 0.0 ? J_neg(nu, x) : J_pos(nu, x);
}
int main()
{
    std::cout << "对 nu == 0.5 的抽查\n" << std::fixed << std::showpos;
    const double nu = 0.5;
    for (double x = 0.0; x <= 2.0; x += 0.333)
    {
        const double n = std::cyl_neumann(nu, x);
        const double j = (J(nu, x) * std::cos(nu * π) - J(-nu, x)) / std::sin(nu * π);
        std::cout << "N_.5(" << x << ") = " << n << ", 通过 J 计算 = " << j << '\n';
        assert(n == j);
    }
}

输出： 

对 nu == 0.5 的抽查
N_.5(+0.000000) = -inf, 通过 J 计算 = -inf
N_.5(+0.333000) = -1.306713, 通过 J 计算 = -1.306713
N_.5(+0.666000) = -0.768760, 通过 J 计算 = -0.768760
N_.5(+0.999000) = -0.431986, 通过 J 计算 = -0.431986
N_.5(+1.332000) = -0.163524, 通过 J 计算 = -0.163524
N_.5(+1.665000) = +0.058165, 通过 J 计算 = +0.058165
N_.5(+1.998000) = +0.233876, 通过 J 计算 = +0.233876

参见

(C++17) (C++17) (C++17)
正则变形柱贝塞尔函数
(函数)
(C++17) (C++17) (C++17)
柱贝塞尔函数（第一类）
(函数)
(C++17) (C++17) (C++17)
非正则变形柱贝塞尔函数
(函数)

外部链接

魏斯坦, 埃里克·W. 《第二类贝塞尔函数》 摘自 MathWorld —— 一个 Wolfram 网络资源。