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std:: assoc_legendre, std:: assoc_legendref, std:: assoc_legendrel

From cppreference.net
C++
Numerics library
Mathematical special functions
定义于头文件 <cmath>
(1)
float assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, float x ) ;

double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, double x ) ;

long double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, long double x ) ;
(C++17 起)
(C++23 前)
/* 浮点类型 */ assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m,
/* 浮点类型 */ x ) ;
(C++23 起)
float assoc_legendref ( unsigned int n, unsigned int m, float x ) ;
(2) (C++17 起)
long double assoc_legendrel ( unsigned int n, unsigned int m, long double x ) ;
(3) (C++17 起)
定义于头文件 <cmath>
template < class Integer >
double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, Integer x ) ;
(A) (C++17 起)
1-3) 计算度数为 n 、阶数为 m 、参数为 x 的 连带勒让德多项式 。 标准库为所有 cv 未限定浮点类型提供了 std::assoc_legendre 的重载版本，作为参数 x 的类型。 (C++23 起)
A) 为所有整数类型提供了额外的重载，这些类型将被视为 double 。

目录

参数

n - 多项式次数，无符号整数值
m - 多项式阶数，无符号整数值
x - 函数参数，浮点数或整数值

返回值

If no errors occur, value of the associated Legendre polynomial P m
n of x , that is (1-x 2
) m/2
d m
dx m
P n (x) , is returned (where P n (x) is the unassociated Legendre polynomial, std:: legendre ( n, x ) ).

请注意，本定义中省略了 Condon-Shortley 相位项 (-1) m
。

错误处理

错误报告方式遵循 math_errhandling 规范

  • 如果参数为 NaN，则返回 NaN 且不报告定义域错误
  • 若 |x| > 1 ，可能出现定义域错误
  • 若 n 大于或等于 128，其行为由实现定义

注释

不支持C++17但支持 ISO 29124:2010 的实现，若实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少201003L的值，且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ ，则会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，会在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也可在 boost.math 中找到，即 boost::math::legendre_p ，但 boost.math 的定义包含了 Condon-Shortley 相位项。

前几个关联勒让德多项式为：

函数 多项式
assoc_legendre ( 0 , 0 , x ) 1
assoc_legendre ( 1 , 0 , x ) x
assoc_legendre ( 1 , 1 , x ) (1 - x 2
) 1/2
assoc_legendre ( 2 , 0 , x )
1
2
(3x 2
- 1)
assoc_legendre ( 2 , 1 , x ) 3x(1 - x 2
) 1/2
assoc_legendre ( 2 , 2 , x ) 3(1 - x 2
)

额外的重载不需要完全按照 (A) 的形式提供。只需确保对于整数类型的实参 num ， std :: assoc_legendre ( int_num1, int_num2, num ) 与 std :: assoc_legendre ( int_num1, int_num2, static_cast < double > ( num ) ) 具有相同效果即可。

示例

运行此代码 
#include <cmath>
#include <iostream>
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
double P21(double x)
{
    return 3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
int main()
{
    // 点校验
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

输出： 

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

参见

(C++17) (C++17) (C++17)
勒让德多项式
(函数)

外部链接

魏斯坦, 埃里克·W. "连带勒让德多项式." 摘自 MathWorld —— 一个 Wolfram 网络资源。