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std:: legendre, std:: legendref, std:: legendrel

From cppreference.net
C++
Numerics library
Mathematical special functions
定义于头文件 <cmath>
(1)
float legendre ( unsigned int n, float x ) ;

double legendre ( unsigned int n, double x ) ;

long double legendre ( unsigned int n, long double x ) ;
(C++17 起)
(C++23 前)
/* floating-point-type */ legendre ( unsigned int n,
/* floating-point-type */ x ) ;
(C++23 起)
float legendref ( unsigned int n, float x ) ;
(2) (C++17 起)
long double legendrel ( unsigned int n, long double x ) ;
(3) (C++17 起)
定义于头文件 <cmath>
template < class Integer >
double legendre ( unsigned int n, Integer x ) ;
(A) (C++17 起)
1-3) 计算次数为 n 、自变量为 x 的非关联 勒让德多项式 。 标准库为所有 cv 未限定浮点类型提供了 std::legendre 的重载版本，作为参数 x 的类型。 (C++23 起)
A) 为所有整数类型提供了额外的重载，这些类型将被视为 double 。

目录

参数

n - 多项式的次数
x - 参数，浮点数或整数值

返回值

If no errors occur, value of the order- n unassociated Legendre polynomial of x , that is
1
2 n
n!
d n
dx n
(x 2
-1) n
, is returned.

错误处理

错误报告方式可按照 math_errhandling 中的规定执行。

  • 若参数为 NaN，则返回 NaN 且不报告定义域错误
  • 不要求该函数对 |x|>1 的情况进行定义
  • 若 n 大于或等于 128，其行为由实现定义

注释

不支持C++17但支持 ISO 29124:2010 的实现，若实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少201003L的值，且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ ，则会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，会在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也可 在 boost.math 中找到 。

前几个勒让德多项式为：

函数 多项式
legendre ( 0 , x ) 1
legendre ( 1 , x ) x
legendre ( 2 , x )
1
2
(3x 2
- 1)
legendre ( 3 , x )
1
2
(5x 3
- 3x)
legendre ( 4 , x )
1
8
(35x 4
- 30x 2
+ 3)

额外的重载不需要完全按照 (A) 的形式提供。只需确保对于整数类型的实参 num ， std :: legendre ( int_num, num ) 与 std :: legendre ( int_num, static_cast < double > ( num ) ) 具有相同效果即可。

示例

运行此代码 
#include <cmath>
#include <iostream>
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
int main()
{
    // 点校验
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

输出： 

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

参见

(C++17) (C++17) (C++17)
拉盖尔多项式
(函数)
(C++17) (C++17) (C++17)
埃尔米特多项式
(函数)

外部链接

韦斯坦，埃里克·W.《勒让德多项式》 摘自 MathWorld —— 一个 Wolfram 网络资源。